Уравнения [ править | править код ]
Пусть a — радиусы окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности (см. рисунок). Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах [2] :
- В прямоугольных координатах[1] : ( x 2 + y 2 + 2 a x ) 2 − 4 a 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 +y^2>+2ax)^2>-4a^2>(x^2>+y^2>),=,0>2>
- В прямоугольных координатах (параметрическая запись): x = 2 a cos t − a cos 2 t y = 2 a sin t − a sin 2 t
- В полярных координатах[2][1] : r = 2 a ( 1 − cos φ )
Иерархия внутренних биологических часов
Итак, как же устроены наши внутренние часы? Последние исследования указывают на то, что внутренние задатчики ритма в нашем организме организованы по законам иерархии: здесь есть самые главные часы и подчиненные часики. Главным центром циркадианных часов является супрахиазматическое ядро в головном мозге — это плотное скопление из примерно 20 тысяч нейронов, и расположено оно как раз рядом с центром, регулирующем продукцию гормонов в организме. Что касается подчиненных часиков, то, как показал анализ экспрессии генов в клетках внутренних органов, гены, отвечающие за суточные ритмы, экспрессируются в каждой клетке организма, включая даже соединительную ткань. Это навело ученых на мысль, что каждый орган имеет свои внутренние часы. Собственную часовую систему внутренних органов назвали периферическими часами, а управляющее ими супрахиазматическое ядро — центральными часами (рис. 1). Свой собственный хронометр есть у печени, у кровеносных сосудов, у сердца, у почек. Но для эффективной работы организма чрезвычайно важно, чтобы все часовые механизмы были настроены на слаженную работу в одном ритме — синхронизированы.
Рисунок 1. Иерархия внутренних биологических часов: главным центром циркадианных часов является супрахиазматическое ядро в головном мозге, задающее ритм работы всем клеткам организма посредством вегетативной нервной системы, специализированных гормонов и различных факторов. Подчиненные часы в клетках внутренних органов называются периферическими.
Фазы внутренних хронометров могут сдвигаться под воздействием определенных стимулов, которые способны навязывать свой ритм. Такие стимулы называются цайтгеберами (от нем. Zeit — «время» и geben — «давать») или задатчиками ритма. Каждые часы способны реагировать на свои специфические задатчики ритма. Например, свет задает ритм центральным часам в супрахиазматическом ядре, тогда как непосредственно на периферические часы он не влияет. Цайтгеберами могут быть не только внешние воздействия, но и особенности поведения: режим физической активности, цикл смены сна и бодрствования и даже режим питания. Например, четко было показано, что внутренние часы печени больше настроены на ритмичность приема пищи, чем на ритмы смены светлого и темного периодов суток [4].
Главный физиологический синхронизатор всех периферических часов — супрахиазматическое ядро. Благодаря своим связям со светочувствительными клетками сетчатки глаза, нейроны супрахиазматического ядра способны получать информацию о световом периоде снаружи и подстроить к внешним условиям внутренние ритмы организма. Синхронизация периферических часовых систем осуществляется посредством вегетативной нервной системы специальными гормонами и, возможно, другими, пока еще мало изученными путями. Ученые с каждым годом открывают и подробно описывают все больше новых факторов, влияющих на регуляцию внутренних ритмов [5].
Свойства [ править | править код ]
- Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля
- Кардиоида является частным случаем синусоидальной спирали
- Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
- Кардиоида имеет один касп.
- Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой в полярных координатах
r = 2 a ( 1 − cos φ ) равна: L = 2 ∫ 0 π r ( φ ) 2 + ( r ′ ( φ ) ) 2 d φ = ⋯ = 8 a ∫ 0 π 1 2 ( 1 − cos φ ) d φ = 8 a ∫ 0 π sin ( φ 2 ) d φ = 16 a ^+(r'(varphi ))^2>>>;dvarphi =cdots =8aint _2>0>^>(1-cos varphi )>>;dvarphi =8aint _2>1>0>^sin(>)dvarphi =16a>
- Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой в полярных координатах
r = 2 a ( 1 − cos φ ) равна: S = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π ( r ( φ ) ) 2 d φ = ∫ 0 π 4 a 2 ( 1 − cos φ ) 2 d φ = ⋯ = 4 a 2 ⋅ 3 2 π = 6 π a 2 1>2>>int _2>0>^>;dvarphi =int _2>0>^(1-cos varphi )^2>>;dvarphi =cdots =4a^2>cdot 3>2>>pi =6pi a^2>>.
Радиус кривизны любой линии:
ρ ( φ ) = [ r ( φ ) 2 + r ˙ ( φ ) 2 ] 3 / 2 r ( φ ) 2 + 2 r ˙ ( φ ) 2 − r ( φ ) r ¨ ( φ ) .
2>+>(varphi )^2> ight]^>+2>(varphi )^2>-r(varphi )>(varphi )>> .>
Что даёт для кардиоиды заданной уравнением в полярных координатах:
r ( φ ) = 2 a ( 1 − cos φ ) = 4 a sin 2 φ 2 ,
2>2>>,> ρ ( φ ) = ⋯ = [ 16 a 2 sin 2 φ 2 ] 3 2 24 a 2 sin 2 φ 2 = 8 3 a sin φ 2 . sin ^2>2>>]^3>2>>>sin ^2>2>>>>=>asin 3>8>2>> .>
Суточная вариабельность сердечно-сосудистых показателей
Еще один очень важный момент заключается в том, что в течение суток чувствительность сердца к стрессу, эмоциональным и физическим нагрузкам различна. Также меняются во времени и сами показатели сердечно-сосудистой функции: артериальное давление, скорость кровотока, частота сердечных сокращений и другие. Непрерывная запись электрокардиограммы в течение 24 часов у людей в состоянии покоя показывает, что частота сердечных сокращений у человека постоянно варьирует: она достигает минимума на пятом-шестом часу сна и в это время составляет 48–50 ударов в минуту. Максимума она достигает вечером, примерно в 18 часов, а затем снова постепенно начинает снижаться.
Все эти явления возможны благодаря сложным молекулярным механизмам собственных периферических часов в сердечно-сосудистой системе. Около 10% генов, экспрессирующихся в клетках сердца, имеют суточный ритм экспрессии. В настоящее время проводится активный поиск факторов, влияющих на работу сердца и обладающих суточной ритмичностью. Молекулярные часы уже обнаружены в мышечных клетках сердца, в клетках внутренней выстилки сосудов (в эндотелии) и в мышечных клетках сосудов.
История [ править | править код ]
Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrè
, 1705 г.). Название кривой дал в 1741 году Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (он упоминается также как
Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon
).
«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire
), который открыл кривую независимо, в 1708 году. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (
J. Koersma
, 1741 год). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII—XIX веков.
Один и один — получается два. Все одиноки — здесь ты, а там я. Люди всегда одиноки вдвойне сами с собою наедине. Если б их что-то сблизить могло, сразу б из двух получилось одно. Пусть математика сложит сердца — чтобы проделать нам путь до конца.
Уильямс Джей, «Герои Ниоткуда»
Вероятно, пост следовало назвать «Как нарисовать анимированное сердечко ко дню Святого Валентина, используя математику не по назначению». Я отверг это название в пользу более поэтичного: как-никак, надвигается замечательный романтический праздник, который мы, айтишники и прочие нёрды, должны встретить во всеоружии. Я сразу покажу вам результат, а под хабракатом будет много букв о том, как я этого результата достиг.
Дисклеймер
Я осознаю, что красивое мигающее сердечко можно сделать и без малейшего знания математики. Но разве это интересно?
Шаг 1. Параметризуем сердечко.
Для начала нам нужен математический объект, хотя бы отдалённо напоминающий сердечко. К счастью, для меня этот шаг был тривиален: ещё пару лет назад я обнаружил замечательную формулу как раз для такого случая (из эстетических соображений график на рисунке растянут по горизонтали, на самом деле он должен умещаться между -1 и 1).
Формула была обнаружена из следующий соображений: возьмём обыкновенную окружность и представим, что она состоит из желе, будучи при этом жёстко прикреплена к оси ординат. Теперь «подуем» на неё снизу: прибавим к координате игрек некую функцию w(x) = w(x(t)), равную нулю при x=0, монотонно возрастающую при x>0 и чётную по x. После такого «дуновения» половинки окружности сместятся вверх, образуя «выпуклости» сердечка, а благодаря жёсткому креплению к оси Y образуется нижний «хвостик» и верхняя «вмятинка». В данном случае w(x(t)) = |x| 1/2 = |cos(t)| 1/2 . Можете самостоятельно попробовать другую «функцию дуновения» и посмотреть, что из этого выйдет.
Шаг 2. От параметрического задания к неявной функции.
x = cos(t) y = sin(t) + |cos(t)| 1/2 y — |x| 1/2 = sin(t) (y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 = 1 f(x,y) = (y — |x| 1/2 ) 2 + x 2 — 1 = 0
Шаг 3. От неявной функции к функции двух переменных. Функция цвета.
Имея на руках f(x,y), мы наконец можем осуществить свою мечту: нарисовать красивую цветную картинку. Для этого нам понадобится ещё одна функция: функция цвета. Она должна принимать вещественный аргумент r и возвращать целое значение от 0 до 255. Также желательно, чтобы она была монотонна на каждой полуоси и имела максимум в точке нуль. В качестве такой функции можно взять, например, эту:
Здесь 100 — «магическое число», позднее мы его в полном соответствии с «хорошим стилем программирования» заменим параметром. Теперь для каждой точки (x,y) мы можем задать цвет как rgb(c(f(x,y)), 0, 0). Те точки, которые раньше принадлежали непосредственно графику «сердечка», стали ярко-красными (обратите внимание на неподвижный светлый контур на гифке). По мере удаления от графика цвет будет тускнеть, пока на некотором расстоянии от него не станет чёрным.
Шаг 4. Добавляем параметр, создаём анимацию.
Теперь заменим магическое число 100 параметром k. Новая функция цвета выглядит так:
Пусть k — это некоторая функция времени. Тогда для каждой точки изображения в каждый момент времени мы можем вычислить её цвет (что и является, по сути, математическим определением анимации). Сначала я хотел взять что-нибудь типа k(t) = 80(sin(t)+1). Потом, однако, я понял, что при большом количестве кадров гифка будет весить более 640 килобайт. С другой стороны, при малом количестве кадров нет смысла заморачиваться с аналитическим заданием k(t). В итоге, чтобы добиться пульсирования сердца, я последовательно присвоил k значения 80, 90, 100, 110, 120, 110, 100, 90, а затем изображения, сгенерированные для этих значений, объединил в циклический GIF. В общем-то, всё.
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Периферические часы в мышечных клетках сосудов
Клетки гладкой мускулатуры кровеносных сосудов — миоциты — также имеют собственные периферические часы. Такишиге Куньеда исследовал циркадианную систему в миоцитах стареющих сосудов. Он обнаружил, что в этих клетках потеря циркадной ритмичности связана с укорочением теломер. Введение теломераз предотвращало проблемы с экспрессией часовых генов. Эти исследования показывают, что регуляция теломеразами может стать одним из способов терапии нарушений циркадных ритмов, связанных с возрастом [11].
Синхронизация молекулярных часов мышечных клеток сердца с обменом липидов
Мы уже говорили о том, как важна синхронизация ритмов сердца с циклами других физиологических систем организма. Не менее важно отметить, что некоторые внутренние циклы способны навязывать свой ритм сердечным часам. Одним из таких циклов-задатчиков является суточный ритм циркуляции жирных кислот и уровня липидов, жестко связанный с циркадианным. Жирные кислоты — преимущественное «сердечное топливо»: они на 70% утилизируются сердцем. При избытке жирных кислот сократительная функция сердца подавляется, и сердце отвечает на эти изменения внутренней среды активацией как оксидативного (митохондриального), так и неоксидативного метаболизма. Таким образом сердце уменьшает клеточную токсичность, вызванную нагрузкой жирными кислотами. И этот процесс также связан с суточными ритмами экспрессии генов.
Американская исследовательница Молли Брэй исследовала гены циркадианных часов с помощью метода микрочипов ДНК. Ей удалось выявить 548 генов, регулирующих часы в кардиомиоцитах предсердия, и 176 генов, связанных с циркадианным ритмом мышечных клеток желудочка сердца. Среди них были гены, вовлеченные в липогенез, и белки, связывающие липиды; все они демонстрировали суточную экспрессию [8].
Периферические часы в клетках эндотелия
Несколько групп ученых продемонстрировали роль часовых генов в функции эндотелия — ткани, выстилающей внутреннюю поверхность кровеносных сосудов и сердца. Они выяснили, что у мышей с мутацией в часовом гене Per 2 не расслабляются сосуды в ответ на воздействие главного релаксирующего нейромедитора — ацетилхолина. Кроме этого очень неприятного нарушения функции, в крови мышек выявляется очень высокая концентрация веществ, стимулирующих сжатие сосудов, что чревато возникновением артериальной гипертонии [9].
Но на этом проблемы со здоровьем у несчастных мышек не заканчивались. Исследователь Чао Ванг показал, что если в клетках эндотелия есть мутация гена Per 2, то кровеносные сосуды быстро стареют, плохо восстанавливаются после повреждений, а у самих грызунов сильно уменьшается продолжительность жизни [10].
